FORMALIZACION PROPOSICIONAL

1. Enunciados o proposiciones
La lógica de enunciados o de proposiciones es el nivel más básico de análisis lógico. Se analizan las relaciones que se dan entre los enunciados o las proposiciones; es, pues, una lógica interproposicional, no intraproposicional. En este nivel se simboliza de la misma manera proposiciones o enunciados de contenido tan diferente como: "ahora llueve", "algunos días llueve" o "todos los días llueve".
¿Qué es uno enunciando o una proposición? Una oración declarativa que puede ser verdadera o falsa. Los enunciados dicen de las cosas y, consecuentemente, pueden ser verdaderos o falsos. No son enunciados las expresiones lingüísticas interrogativas, exclamativas o imperativas.Los enunciados o proposiciones pueden ser atómicos o simples, los que no se pueden descomponer en otros; y moleculares o complejos, los que sí se pueden descomponer.


2. Elementos de la lógica de enunciados o proposicional
El lenguaje o vocabulario de la lógica proposicional o de enunciados consta de tres clases de elementos o símbolos: variables, constantes y auxiliares.
2.1 Variables
Variables o variables proposicionales son los símbolos que sustituyen las proposiciones o enunciados. Se llaman variables porque su significado va cambiando en las diferentes argumentaciones o expresiones.Se han acordado cinco variables o letras como símbolos: p, q, r, s, t. Si hacen falta más variables, se recorre a subíndices:
Una variable como por ejemplo p puede simbolizar "La Tierra es un planeta" o "Todos los planetas giran entorno all Sol" o cualquier otra proposición. Por ello, siempre es preciso indicar la proposición que se simboliza con la variable. Así, p = La Tierra es un planeta.
2.2 Constantes
Constantes o conectores proposicionales son las partículas de significado no variable que tienen la función de alterar, relacionar o conectar enunciados atómicos haciéndolos complejos. Los más frecuentes son la negación, la conjunción, la disyunción, el condicional y el bicondicional.
Negación: ¬. (También: -, ~ ) Representa la partícula lingüística no o cualquiera otras partículas que incluyan la idea de negación. Por ejemplo: no es el caso que, no pasa que, ni, etc. También prefijos que indican esta idea como imposible.
Así, la formalización de "La luna no tiene satélites", será ¬p ; habiendo definido "La luna tiene satélites" con la letra p.
Conjunción: Ù . (También: ·, & )Representa la partícula lingüística y o cualquier otra que indique la idea de unió, como también, igualmente, pero.
Así, la formalización de "Marte tiene satélites y Júpiter también", considerando "Marte tiene satélites" = p y "Júpiter tiene satélites" = q, será p Ù q .
Disyunción: Ú .Representa la partícula lingüística o. Es preciso advertir que esta partícula tiene dos sentidos: un inclusivo y otro exclusivo. En sentido inclusivo equivale a y/o, o sea, que incluye la verdad de los dos enunciados de la disyunción o bien sólo la de uno de los dos. El sentido exclusivo expresa la idea que la verdad de un miembro es incompatible con la verdad del otro: o uno o el otro, pero no los dos. El sentido inclusivo es lo que, en general, se adopta a lógica.
Así, la formalización de "Se aprende lógica escuchando a clase o estudiando", siendo "Se aprende lógica escuchando a clase" = p y "Se aprende lógica estudiante" = q, será p Ú q .
Condicional: ® . (También: É )Representa las partículas lingüísticas si … entonces ... o cualquiera otros que indiquen la idea de condición, como cuando … entonces... , entonces o una simple "coma". La partícula entonces o equivalente separa el antecedente del consecuente.
Así, la formalización de "Si llueve, entonces la tierra se moja", con p simbolizando "Llueve" y q, "La tierra se moja", será p ® q .
Bicondicional : « . (También: º )Representa las partículas lingüísticas si y sólo si … o cualquier otra que indique doble condición, como equivale, cuando y sólo cuando, únicamente. Se trata de una condición necesaria y suficiente.
Así, la formalización de "Es de noche si y sólo si se ha post el sol", con p simbolizando "Es de noche" y q "Se ha post el sol", será p « q.
2.3 Símbolos auxiliares
Símbolos auxiliares o paréntesis que no tienen ningún significado lógico pero que se usan con el objetivo de clarificar la comprensión de los enunciados. Los símbolos auxiliares paréntesis ( ... ) y corchetes [ ... ] evitan ambigüedades y facilitan la lectura.
Paréntesis y corchetes clarifican el siguiente enunciado molecular: "Si [(cantas y bebes) o (bailas y comes)] entonces no puedes hacer ninguna de las cosas bien".


3. Reglas de formación de fórmulas
Las variables proposicionales, constantes y auxiliares, o sea , los símbolos del lenguaje lógico no se pueden escribir de cualquier manera. No toda expresión es admitida como fórmula bien hecha. Una fórmula es una secuencia ordenada de símbolos.
Una fórmula es una fórmula bien formada (fbf) si cumple alguna de las siguientes cláusulas: 1) Uno variable proposicional es una fbf. 2) Una fbf precedida de una negación es una fbf. 3) Una fbf seguida por cualquiera de las constantes, seguida de una fbf, haciendo buen uso de los paréntesis es una fbf.
Así, por no cumplir la segunda cláusula, p¬ no es una fbf; y por no cumplir la tercera, tampoco es una fbf ®pq ni pqÙ .

FORMALIZACION PROPOSICIONAL

1. Enunciados o proposiciones
La lógica de enunciados o de proposiciones es el nivel más básico de análisis lógico. Se analizan las relaciones que se dan entre los enunciados o las proposiciones; es, pues, una lógica interproposicional, no intraproposicional. En este nivel se simboliza de la misma manera proposiciones o enunciados de contenido tan diferente como: "ahora llueve", "algunos días llueve" o "todos los días llueve".
¿Qué es uno enunciando o una proposición? Una oración declarativa que puede ser verdadera o falsa. Los enunciados dicen de las cosas y, consecuentemente, pueden ser verdaderos o falsos. No son enunciados las expresiones lingüísticas interrogativas, exclamativas o imperativas.Los enunciados o proposiciones pueden ser atómicos o simples, los que no se pueden descomponer en otros; y moleculares o complejos, los que sí se pueden descomponer.


2. Elementos de la lógica de enunciados o proposicional
El lenguaje o vocabulario de la lógica proposicional o de enunciados consta de tres clases de elementos o símbolos: variables, constantes y auxiliares.
2.1 Variables
Variables o variables proposicionales son los símbolos que sustituyen las proposiciones o enunciados. Se llaman variables porque su significado va cambiando en las diferentes argumentaciones o expresiones.Se han acordado cinco variables o letras como símbolos: p, q, r, s, t. Si hacen falta más variables, se recorre a subíndices:
Una variable como por ejemplo p puede simbolizar "La Tierra es un planeta" o "Todos los planetas giran entorno all Sol" o cualquier otra proposición. Por ello, siempre es preciso indicar la proposición que se simboliza con la variable. Así, p = La Tierra es un planeta.
2.2 Constantes
Constantes o conectores proposicionales son las partículas de significado no variable que tienen la función de alterar, relacionar o conectar enunciados atómicos haciéndolos complejos. Los más frecuentes son la negación, la conjunción, la disyunción, el condicional y el bicondicional.
Negación: ¬. (También: -, ~ ) Representa la partícula lingüística no o cualquiera otras partículas que incluyan la idea de negación. Por ejemplo: no es el caso que, no pasa que, ni, etc. También prefijos que indican esta idea como imposible.
Así, la formalización de "La luna no tiene satélites", será ¬p ; habiendo definido "La luna tiene satélites" con la letra p.
Conjunción: Ù . (También: ·, & )Representa la partícula lingüística y o cualquier otra que indique la idea de unió, como también, igualmente, pero.
Así, la formalización de "Marte tiene satélites y Júpiter también", considerando "Marte tiene satélites" = p y "Júpiter tiene satélites" = q, será p Ù q .
Disyunción: Ú .Representa la partícula lingüística o. Es preciso advertir que esta partícula tiene dos sentidos: un inclusivo y otro exclusivo. En sentido inclusivo equivale a y/o, o sea, que incluye la verdad de los dos enunciados de la disyunción o bien sólo la de uno de los dos. El sentido exclusivo expresa la idea que la verdad de un miembro es incompatible con la verdad del otro: o uno o el otro, pero no los dos. El sentido inclusivo es lo que, en general, se adopta a lógica.
Así, la formalización de "Se aprende lógica escuchando a clase o estudiando", siendo "Se aprende lógica escuchando a clase" = p y "Se aprende lógica estudiante" = q, será p Ú q .
Condicional: ® . (También: É )Representa las partículas lingüísticas si … entonces ... o cualquiera otros que indiquen la idea de condición, como cuando … entonces... , entonces o una simple "coma". La partícula entonces o equivalente separa el antecedente del consecuente.
Así, la formalización de "Si llueve, entonces la tierra se moja", con p simbolizando "Llueve" y q, "La tierra se moja", será p ® q .
Bicondicional : « . (También: º )Representa las partículas lingüísticas si y sólo si … o cualquier otra que indique doble condición, como equivale, cuando y sólo cuando, únicamente. Se trata de una condición necesaria y suficiente.
Así, la formalización de "Es de noche si y sólo si se ha post el sol", con p simbolizando "Es de noche" y q "Se ha post el sol", será p « q.
2.3 Símbolos auxiliares
Símbolos auxiliares o paréntesis que no tienen ningún significado lógico pero que se usan con el objetivo de clarificar la comprensión de los enunciados. Los símbolos auxiliares paréntesis ( ... ) y corchetes [ ... ] evitan ambigüedades y facilitan la lectura.
Paréntesis y corchetes clarifican el siguiente enunciado molecular: "Si [(cantas y bebes) o (bailas y comes)] entonces no puedes hacer ninguna de las cosas bien".


3. Reglas de formación de fórmulas
Las variables proposicionales, constantes y auxiliares, o sea , los símbolos del lenguaje lógico no se pueden escribir de cualquier manera. No toda expresión es admitida como fórmula bien hecha. Una fórmula es una secuencia ordenada de símbolos.
Una fórmula es una fórmula bien formada (fbf) si cumple alguna de las siguientes cláusulas: 1) Uno variable proposicional es una fbf. 2) Una fbf precedida de una negación es una fbf. 3) Una fbf seguida por cualquiera de las constantes, seguida de una fbf, haciendo buen uso de los paréntesis es una fbf.
Así, por no cumplir la segunda cláusula, p¬ no es una fbf; y por no cumplir la tercera, tampoco es una fbf ®pq ni pqÙ .

FORMALIZACION PROPOSICIONAL

1. Enunciados o proposiciones
La lógica de enunciados o de proposiciones es el nivel más básico de análisis lógico. Se analizan las relaciones que se dan entre los enunciados o las proposiciones; es, pues, una lógica interproposicional, no intraproposicional. En este nivel se simboliza de la misma manera proposiciones o enunciados de contenido tan diferente como: "ahora llueve", "algunos días llueve" o "todos los días llueve".
¿Qué es uno enunciando o una proposición? Una oración declarativa que puede ser verdadera o falsa. Los enunciados dicen de las cosas y, consecuentemente, pueden ser verdaderos o falsos. No son enunciados las expresiones lingüísticas interrogativas, exclamativas o imperativas.Los enunciados o proposiciones pueden ser atómicos o simples, los que no se pueden descomponer en otros; y moleculares o complejos, los que sí se pueden descomponer.


2. Elementos de la lógica de enunciados o proposicional
El lenguaje o vocabulario de la lógica proposicional o de enunciados consta de tres clases de elementos o símbolos: variables, constantes y auxiliares.
2.1 Variables
Variables o variables proposicionales son los símbolos que sustituyen las proposiciones o enunciados. Se llaman variables porque su significado va cambiando en las diferentes argumentaciones o expresiones.Se han acordado cinco variables o letras como símbolos: p, q, r, s, t. Si hacen falta más variables, se recorre a subíndices:
Una variable como por ejemplo p puede simbolizar "La Tierra es un planeta" o "Todos los planetas giran entorno all Sol" o cualquier otra proposición. Por ello, siempre es preciso indicar la proposición que se simboliza con la variable. Así, p = La Tierra es un planeta.
2.2 Constantes
Constantes o conectores proposicionales son las partículas de significado no variable que tienen la función de alterar, relacionar o conectar enunciados atómicos haciéndolos complejos. Los más frecuentes son la negación, la conjunción, la disyunción, el condicional y el bicondicional.
Negación: ¬. (También: -, ~ ) Representa la partícula lingüística no o cualquiera otras partículas que incluyan la idea de negación. Por ejemplo: no es el caso que, no pasa que, ni, etc. También prefijos que indican esta idea como imposible.
Así, la formalización de "La luna no tiene satélites", será ¬p ; habiendo definido "La luna tiene satélites" con la letra p.
Conjunción: Ù . (También: ·, & )Representa la partícula lingüística y o cualquier otra que indique la idea de unió, como también, igualmente, pero.
Así, la formalización de "Marte tiene satélites y Júpiter también", considerando "Marte tiene satélites" = p y "Júpiter tiene satélites" = q, será p Ù q .
Disyunción: Ú .Representa la partícula lingüística o. Es preciso advertir que esta partícula tiene dos sentidos: un inclusivo y otro exclusivo. En sentido inclusivo equivale a y/o, o sea, que incluye la verdad de los dos enunciados de la disyunción o bien sólo la de uno de los dos. El sentido exclusivo expresa la idea que la verdad de un miembro es incompatible con la verdad del otro: o uno o el otro, pero no los dos. El sentido inclusivo es lo que, en general, se adopta a lógica.
Así, la formalización de "Se aprende lógica escuchando a clase o estudiando", siendo "Se aprende lógica escuchando a clase" = p y "Se aprende lógica estudiante" = q, será p Ú q .
Condicional: ® . (También: É )Representa las partículas lingüísticas si … entonces ... o cualquiera otros que indiquen la idea de condición, como cuando … entonces... , entonces o una simple "coma". La partícula entonces o equivalente separa el antecedente del consecuente.
Así, la formalización de "Si llueve, entonces la tierra se moja", con p simbolizando "Llueve" y q, "La tierra se moja", será p ® q .
Bicondicional : « . (También: º )Representa las partículas lingüísticas si y sólo si … o cualquier otra que indique doble condición, como equivale, cuando y sólo cuando, únicamente. Se trata de una condición necesaria y suficiente.
Así, la formalización de "Es de noche si y sólo si se ha post el sol", con p simbolizando "Es de noche" y q "Se ha post el sol", será p « q.
2.3 Símbolos auxiliares
Símbolos auxiliares o paréntesis que no tienen ningún significado lógico pero que se usan con el objetivo de clarificar la comprensión de los enunciados. Los símbolos auxiliares paréntesis ( ... ) y corchetes [ ... ] evitan ambigüedades y facilitan la lectura.
Paréntesis y corchetes clarifican el siguiente enunciado molecular: "Si [(cantas y bebes) o (bailas y comes)] entonces no puedes hacer ninguna de las cosas bien".


3. Reglas de formación de fórmulas
Las variables proposicionales, constantes y auxiliares, o sea , los símbolos del lenguaje lógico no se pueden escribir de cualquier manera. No toda expresión es admitida como fórmula bien hecha. Una fórmula es una secuencia ordenada de símbolos.
Una fórmula es una fórmula bien formada (fbf) si cumple alguna de las siguientes cláusulas: 1) Uno variable proposicional es una fbf. 2) Una fbf precedida de una negación es una fbf. 3) Una fbf seguida por cualquiera de las constantes, seguida de una fbf, haciendo buen uso de los paréntesis es una fbf.
Así, por no cumplir la segunda cláusula, p¬ no es una fbf; y por no cumplir la tercera, tampoco es una fbf ®pq ni pqÙ .

TABLAS DE VERDAD

La conjunción:


Una conjunción p & q es verdadera cuando todos sus elementos son verdaderos y es falsa cuando alguno de sus elementos o todos ellos sean falsos. La representación de los valores de verdad de la conjunción :

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La disyunción:

Una disyunción p V q es verdadera cuando por lo menos uno de sus elementos es verdadero y es falsa cuando todos sus elementos son falsos.
La tabla de verdad de la disyunción es:

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La implicación:

Una implicación p -> q es verdadera siempre que no se de el caso de que su antecedente p sea verdadero y su consecuente q falso.
La tabla de verdad de la implicación es la siguiente:


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El bicondicional o coimplicador

Una coimplicación p <-> q es verdadera cuando sus elementos ( p y q ) tengan el mismo valor de verdad, es decir, sean los dos verdaderos o los dos falsos.
Su representación es la siguiente:


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La negación.

Dado cualquier enunciado verdadero p , su negación ¬p será falsa.Y si un enunciado es falso, su negación será verdadera.
La tabla de verdad de la negación puede representarse como sigue :

COMPUERTAS LOGICAS

Una puerta lógica, o compuerta lógica, es un dispositivo electronico que es la expresión física de un operador booleano en la lógica de conmutación. Cada puerta lógica consiste en una red de dispositivos interruptores que cumple las condiciones booleanas para el operador particular. Son esencialmente circuitos de conmutación integrados en un chip.


Compuerta AND:


Cada compuerta tiene dos variables de entrada designadas por A y B y una salida binaria designada por x. La compuerta AND produce la multiplicación lógica AND: esto es: la salida es 1 si la entrada A y la entrada B están ambas en el binario 1: de otra manera, la salida es 0. Estas condiciones también son especificadas en la tabla de verdad para la compuerta AND. La tabla muestra que la salida x es 1 solamente cuando ambas entradas A y B están en 1.El símbolo de operación algebraico de la función AND es el mismo que el símbolo de la multiplicación de la aritmética ordinaria (*).Las compuertas AND pueden tener más de dos entradas y por definición, la salida es 1 si todas las entradas son 1.


Compuerta OR:

La compuerta OR produce la función sumadora, esto es, la salida es 1 si la entrada A o la entrada B o ambas entradas son 1; de otra manera, la salida es 0. El símbolo algebraico de la función OR (+), es igual a la operación de aritmética de suma. Las compuertas OR pueden tener más de dos entradas y por definición la salida es 1 si cualquier entrada es 1.

Compuerta NOT:

El circuito NOT es un inversor que invierte el nivel lógico de una señal binaria. Produce el NOT, o función complementaria. El símbolo algebraico utilizado para el complemento es una barra sobra el símbolo de la variable binaria. Si la variable binaria posee un valor 0, la compuerta NOT cambia su estado al valor 1 y viceversa. El círculo pequeño en la salida de un símbolo gráfico de un inversor designa un inversor lógico. Es decir cambia los valores binarios 1 a 0 y viceversa.

Compuerta NAND:

Es el complemento de la función AND, como se indica por el símbolo gráfico, que consiste en una compuerta AND seguida por un pequeño círculo (quiere decir que invierte la señal).La designación NAND se deriva de la abreviación NOT - AND. Una designación más adecuada habría sido AND invertido puesto que es la función AND la que se ha invertido.Las compuertas NAND pueden tener más de dos entradas, y la salida es siempre el complemento de la función AND.

Compuerta NOR:

La compuerta NOR es el complemento de la compuerta OR y utiliza el símbolo de la compuerta OR seguido de un círculo pequeño (quiere decir que invierte la señal). Las compuertas NOR pueden tener más de dos entradas, y la salida es siempre el complemento de la función OR.